O wprowadzeniu Teorii Cienkich Sprężystych Tarcz na Podstawie Trójwymiarowej Teorii Sprężystości

Abstract

Podajemy wyprowadzenie równań cienkich tarcz sprężystych na podstawie trójwymiarowej liniowej teorii sprężystości. Metoda wyprowadzenia polega na rozwinięciu funkcji występujących w trójwymiarowych równaniach teorii sprężystości w szeregi względem zmiennej x3, która jest współrzędną normalną do płaszczyzny tarczy, a następnie na zatrzymania składników w najniższej potędze x3.
We wstępie podajemy klasyfikacje pól sprężystych, statycznych i dynamicznych ze względu na symetrie wobec zmiennej x3.
W p. 1 podajemy założenia o warunkach brzegowych początkowych oraz o siłach masowych przyłożonych do tarczy. Wskazujemy na niekonsekwencje przyjmowanych powszechnie teorii płaskiego stanu naprężenia. Czynimy założenia o rozwijaniu składowych naprężenia W szeregi.
W p. 2 podajemy, wynikające z równań typu Beltramiego-Michella związki miedzy współczynnikami tych szeregów.
W p. 3 wyprowadzamy równania teorii sprężystości cienkiej tarczy dla zagadnienia statycznego, równania (3.14)-(3.15), a w p. 4 dla zagadnienia dynamicznego, równania (4.5), (4.10). Ponadto podajemy poprawkę do składowych pola naprężenia tarczy dla pól statycznych równania (3.16) i dynamicznych równania (4.17), (4.20).
W p. 5 rozważamy uogólniony plaski stan naprężenia, statyczny i dynamiczny. Wykazujemy, że warunki w których występuje uogólniony plaski stan naprężenia nie są w ogólności bardziej ogólne, niż t, przy których występuje plaski stan naprężenia.
W p. 6 podajemy pewne rozważania o możliwości znalezienia wyższych poprawek do pola naprężenia występującego w tarczy.
W Dodatku 1 pokazujemy, że w przypadku statycznym warunki brzegowe wraz Z jednym z równań Beltramiego-Michella implikują w dobrym przybliżeniu plaski stan naprężenia w tarczy.
W Dodatku 2 uogólniamy formule Clebscha na przypadek niejednorodnych sil masowych, równania (B11). Pokazujemy, że z dokładnością do wyrazów rzędu h, gdzie 2h oznacza grubość tarczy, zgadza się ona z formuła (3.16), otrzymana na drodze rozwinięć.